Ejercicio 39

1. Cálculo de energías iniciales:
Convertimos la velocidad a metros por segundo: $v_0 = 15000 \text{ m/s}$.
La energía cinética de despegue es: $E_c = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 2000 \cdot (15000)^2 = 1000 \cdot 2,25\cdot 10^8 = 2,25\cdot 10^{11} \text{ J}$.
La energía potencial en la superficie terrestre ($R_T$) es:
$E_p = -G \frac{M_T m}{R_T} = -\frac{6,67\cdot 10^{-11} \cdot 5,97\cdot 10^{24} \cdot 2000}{6,37\cdot 10^6} = -\frac{7,9639\cdot 10^{17}}{6,37\cdot 10^6} = -1,2502\cdot 10^{11} \text{ J}$.

2. Energía mecánica total ($E_m$):
Sumamos ambas magnitudes. Como la energía cinética supera holgadamente a la potencial en valor absoluto (el cohete viaja más rápido que la velocidad de escape), la energía mecánica será positiva:
$E_m = E_c + E_p = 2,25\cdot 10^{11} - 1,2502\cdot 10^{11} = 0,9998\cdot 10^{11} \text{ J}$.
Ajustando la notación y redondeando el coeficiente a dos decimales exactos, obtenemos $E_m = 1,00\cdot 10^{11} \text{ J}$.

1. Planteamiento de la conservación:
Por conservación de la energía mecánica, la energía en la superficie ($E_m$) es igual a la energía en el infinito.
A distancia infinita, la atracción gravitatoria es nula, por lo que la energía potencial se hace cero ($E_{p,\infty} = 0$).
Esto significa que toda la energía mecánica residual del cohete se convierte íntegramente en energía cinética: $E_m = E_{c,\infty}$.

2. Cálculo de la velocidad límite:
Usaremos el valor preciso calculado sin redondear ($E_m = 0,9998\cdot 10^{11} \text{ J}$) para hallar la velocidad:
$E_{c,\infty} = \frac{1}{2} m v_\infty^2 \implies 0,9998\cdot 10^{11} = \frac{1}{2} \cdot 2000 \cdot v_\infty^2$
$0,9998\cdot 10^{11} = 1000 \cdot v_\infty^2$
Despejamos la velocidad:
$v_\infty = \sqrt{\frac{0,9998\cdot 10^{11}}{1000}} = \sqrt{0,9998\cdot 10^8} = \sqrt{99980000} = 9998,999... \text{ m/s}$.
Redondeando a dos decimales exactos, nos resulta unos nada despreciables $\sim \mathbf{10,00 \text{ km/s}}$ de velocidad intergaláctica.