Ejercicio 39

1. Parámetros atómicos (Mg-24):
La carga neta para un ión monovalente positivo es la elemental: $q = 1,6\cdot 10^{-19} \text{ C}$.
La masa del isótopo más ligero es $m_{24} = 24 \cdot 1,66\cdot 10^{-27} = 3,984 \cdot 10^{-26} \text{ kg}$.

2. Conservación de la energía del acelerador:
$\frac{1}{2}m_{24}v_{24}^2 = q\Delta V \implies v_{24} = \sqrt{\frac{2q\Delta V}{m_{24}}}$.
El aporte energético del campo eléctrico es $2q\Delta V = 2 \cdot 1,6\cdot 10^{-19} \cdot 5000 = 1,6\cdot 10^{-15} \text{ J}$.
$v_{24} = \sqrt{\frac{1,6\cdot 10^{-15}}{3,984 \cdot 10^{-26}}} = \sqrt{4,0160... \cdot 10^{10}} = 200401,1... \text{ m/s}$.
Redondeado a notación científica a dos decimales exactos, nos queda $2,00\cdot 10^5 \text{ m/s}$.

1. Ecuación geométrica del espectrómetro:
Los isótopos describen media vuelta, colisionando contra el muro diametral. El diámetro es $D = 2R$. La distancia entre las dos marcas será la diferencia de ambos diámetros: $\Delta d = 2R_{26} - 2R_{24}$.
Sustituyendo $v$ en la ley de radios ($R = \frac{mv}{qB}$), la ecuación directa de espectrometría se consolida como $R = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}}$.

2. Cálculo paramétrico de los isótopos:
- Isótopo Mg-24: $R_{24} = \frac{3,984 \cdot 10^{-26} \cdot 200401,1}{1,6\cdot 10^{-19} \cdot 0,6} = \frac{7,9839\cdot 10^{-21}}{9,6\cdot 10^{-20}} = 0,08316 \text{ m}$.
- Isótopo Mg-26: La masa es $m_{26} = 26 \cdot 1,66\cdot 10^{-27} = 4,316 \cdot 10^{-26} \text{ kg}$.
Su velocidad es $v_{26} = \sqrt{\frac{1,6\cdot 10^{-15}}{4,316 \cdot 10^{-26}}} = \sqrt{3,7071... \cdot 10^{10}} = 192539 \text{ m/s}$.
Su radio resulta: $R_{26} = \frac{4,316 \cdot 10^{-26} \cdot 192539}{1,6\cdot 10^{-19} \cdot 0,6} = \frac{8,3099\cdot 10^{-21}}{9,6\cdot 10^{-20}} = 0,08656 \text{ m}$.

3. Distancia neta de los impactos:
$\Delta d = 2(0,08656) - 2(0,08316) = 0,17312 - 0,16632 = 0,00680 \text{ m}$.
Al estar solicitado en milímetros, multiplicamos por 1000: $6,80 \text{ mm}$.