Ejercicio 39

1. Parámetros espaciales y temporales:
La diferencia de fase se relaciona con la distancia geométrica mediante: $\Delta\phi = k \cdot \Delta x$.
$\frac{\pi}{2} = k \cdot 0,1 \implies k = \frac{\pi/2}{0,1} = 5\pi \text{ rad/m}$.
La longitud de onda se extrae del número de onda: $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{5\pi} = 0,40 \text{ m}$.

La frecuencia ordinaria ($f$) es el número de oscilaciones por segundo: $f = \frac{50}{10} = 5 \text{ Hz}$.
La frecuencia angular es: $\omega = 2\pi f = 10\pi \text{ rad/s} \approx 31,42 \text{ rad/s}$.

2. Velocidad de propagación ($v_p$):
$v_p = \lambda \cdot f = 0,40 \cdot 5 = 2,00 \text{ m/s}$.

1. Ecuación matemática de la onda:
Como la onda viaja en sentido negativo del eje X, los signos del término temporal y espacial son iguales: $y(x,t) = A \sin(\omega t + kx + \phi_0)$.
Aplicando las condiciones en $x=0, t=0$:
$y(0,0) = 0 \implies \sin(\phi_0) = 0 implies \phi_0 = 0$ ó $\pi$.
La velocidad es $v_y = A\omega \cos(\omega t + kx + \phi_0)$. Evaluando en $t=0, x=0$, $v_y(0,0) = A\omega \cos(\phi_0)$.
Como $v_y < 0$, entonces $\cos(\phi_0)$ debe ser negativo, por lo que $\phi_0 = \pi \text{ rad}$.
Sustituyendo los valores: $y(x,t) = 0,03 \sin(10\pi t + 5\pi x + \pi) \text{ m}$.

2. Cálculo de la aceleración:
Derivando dos veces la elongación respecto al tiempo obtenemos la aceleración transversal:
$a_y(x,t) = -A\omega^2 \sin(\omega t + kx + \phi_0)$
Evaluamos en $x=0,1 \text{ m}$ y $t=0,1 \text{ s}$:
$\theta = 10\pi(0,1) + 5\pi(0,1) + \pi = \pi + 0,5\pi + \pi = 2,5\pi \text{ rad}$.
$\sin(2,5\pi) = \sin(0,5\pi) = 1$.
$a_y = -0,03 \cdot (10\pi)^2 \cdot 1 = -3\pi^2 \approx -29,6088... \text{ m/s}^2$.
Aproximado a dos decimales: $-29,61 \text{ m/s}^2$.