Ejercicio 4

Cálculo de la constante de desintegración ($\lambda$):
La constante de desintegración radiactiva está ligada al periodo de semidesintegración ($T_{1/2}$) mediante la relación $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
Para mantener coherencia con las actividades expresadas en Becquerelios (que son desintegraciones por segundo), transformaremos el periodo a segundos:
$T_{1/2} = 8,02 \text{ días} \cdot 24 \text{ h/d} \cdot 3600 \text{ s/h} = 692\,928 \text{ s}$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{692\,928} = 1,0003 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}$.
Ajustando el coeficiente a dos decimales exactos, obtenemos $1,00 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}$.

1. Actividad de la muestra:
La actividad máxima está limitada a $A = 7000 \text{ MBq} = 7\cdot 10^9 \text{ Bq}$.
La relación que vincula la actividad con el número de átomos radiactivos presentes es $A = \lambda \cdot N$.

2. Cálculo del número de átomos ($N$):
Utilizando el $\lambda$ exacto en $s^{-1}$ del apartado anterior para evitar arrastre de errores:
$N = \frac{A}{\lambda} = \frac{7\cdot 10^9}{1,0003\cdot 10^{-6}} = 6,9977 \cdot 10^{15} \text{ núcleos}$.

3. Conversión a masa (kg):
Pasamos el número de núcleos a moles usando el Número de Avogadro ($N_A$):
$n = \frac{N}{N_A} = \frac{6,9977\cdot 10^{15}}{6,02\cdot 10^{23}} = 1,1624 \cdot 10^{-8} \text{ moles}$.
Multiplicamos por la masa atómica dada ($M = 130,9 \text{ g/mol}$) para obtener la masa en gramos:
$m (g) = n \cdot M = 1,1624 \cdot 10^{-8} \cdot 130,9 = 1,5216 \cdot 10^{-6} \text{ g}$.
Finalmente, convertimos a kilogramos (unidades S.I.) dividiendo entre $1000$:
$m = 1,5216 \cdot 10^{-9} \text{ kg}$.
Redondeando el coeficiente a dos decimales exactos, obtenemos $1,52 \cdot 10^{-9} \text{ kg}$.

1. Planteamiento con la ley de desintegración:
La actividad decrece exponencialmente con el tiempo según $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$.
El enunciado indica que queremos saber el tiempo necesario para que la actividad se reduzca al $20\%$ de su valor inicial. Por lo tanto, la actividad restante es $A(t) = 0,20 \cdot A_0$.
Sustituyendo esto en la ecuación principal:
$0,20 \cdot A_0 = A_0 \cdot e^{-\lambda t} \implies 0,20 = e^{-\lambda t}$.

2. Cálculo del tiempo ($t$):
Tomamos logaritmos neperianos en ambos lados:
$\ln(0,20) = -\lambda t \implies -1,6094 = -\lambda t$.
Para obtener el resultado cómodamente en días, podemos usar un valor de $\lambda$ expresado en días$^{-1}$:
$\lambda_{\text{días}} = \frac{\ln 2}{8,02} = 0,08642 \text{ días}^{-1}$.
Despejando $t$:
$t = \frac{1,6094}{0,08642} = 18,623 \text{ días}$.
Redondeando a dos decimales exactos, han de transcurrir $18,62 \text{ días}$.