Ejercicio 7

1. Concepto Físico (Ley de Desintegración Radiactiva):
La constante de desintegración ($\lambda$) representa la probabilidad de que un núcleo se desintegre por unidad de tiempo. Se relaciona inversamente con el periodo de semidesintegración ($T_{1/2}$), que es el tiempo necesario para que la cantidad de núcleos radiactivos se reduzca a la mitad.
La fórmula es: $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

2. Conversión de unidades y Cálculo:
Para trabajar en el Sistema Internacional (necesario ya que la actividad está en Becquerelios, que son desintegraciones por segundo), debemos pasar el periodo de semidesintegración de días a segundos:
$T_{1/2} = 1925,2 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 166\,337\,280 \text{ s}$.

Sustituimos en la fórmula de la constante de desintegración:
$\lambda = \frac{\ln 2}{166\,337\,280 \text{ s}} = 4,1671 \cdot 10^{-9} \text{ s}^{-1}$.

Redondeando estrictamente a dos decimales, el coeficiente queda como $4,17 \cdot 10^{-9} \text{ s}^{-1}$.

1. Concepto Físico (Actividad y Masa):
La Actividad ($A$) de una muestra mide el número de desintegraciones por segundo y es directamente proporcional al número de núcleos radiactivos presentes ($N$) mediante la relación $A = \lambda \cdot N$.
Una vez hallado el número de núcleos, usamos el Número de Avogadro ($N_A$) para obtener los moles, y la masa atómica para hallar la masa total en gramos.

2. Cálculo del número de núcleos ($N_0$):
Despejamos $N_0$ de la fórmula de la actividad inicial:
$N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{2,64\cdot 10^9 \text{ Bq}}{4,1671\cdot 10^{-9} \text{ s}^{-1}} = 6,3353 \cdot 10^{17} \text{ núcleos}$.

3. Cálculo de la masa de la muestra:
Primero hallamos el número de moles ($n$) dividiendo entre el Número de Avogadro:
$n = \frac{N_0}{N_A} = \frac{6,3353 \cdot 10^{17}}{6,02\cdot 10^{23}} = 1,0523 \cdot 10^{-6} \text{ moles}$.
Multiplicamos por la masa atómica del isótopo ($59,94 \text{ g/mol}$) para obtener los gramos:
$m = n \cdot M_{at} = (1,0523 \cdot 10^{-6} \text{ mol}) \cdot 59,94 \text{ g/mol} = 6,308 \cdot 10^{-5} \text{ g}$.
Para dar la respuesta en la unidad del SI (kilogramos), dividimos entre 1000:
$m = 6,308 \cdot 10^{-8} \text{ kg}$.

Redondeando a dos decimales exactos, obtenemos $6,31 \cdot 10^{-8} \text{ kg}$.

1. Concepto Físico (Ley de Desintegración):
La actividad de una muestra radiactiva disminuye exponencialmente con el tiempo según la ecuación: $A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

2. Homogeneización de unidades:
Nos piden la actividad al cabo de $t = 1 \text{ año}$. Asumiremos un año estándar de $365 \text{ días}$.
Podemos usar el tiempo en días y calcular una $\lambda$ en días$^{-1}$ para facilitar las matemáticas y evitar números extremadamente pequeños en el exponente:
$\lambda_{\text{días}} = \frac{\ln 2}{1925,2 \text{ días}} = 3,6004 \cdot 10^{-4} \text{ días}^{-1}$.

3. Cálculo de la Actividad Final ($A$):
Sustituimos en la ecuación exponencial:
$A(365 \text{ días}) = (2,64\cdot 10^9) \cdot e^{-(3,6004 \cdot 10^{-4} \cdot 365)}$
$A = (2,64\cdot 10^9) \cdot e^{-0,13141}$
$A = (2,64\cdot 10^9) \cdot 0,8768 = 2,3148 \cdot 10^9 \text{ Bq}$.

Ajustando el coeficiente a dos decimales exactos, obtenemos $2,31 \cdot 10^9 \text{ Bq}$.