Apartado a)
Resultado:
- Campo en $A$: $\vec{E}_A=$ 432 \(\vec{i}\) + 2236,5 \(\vec{j}\) N/C
- Potencial en $A$: $V_A=$ 7650 V
1. Concepto Físico (Superposición en A):
En el punto $A(0,4)$, el campo eléctrico es la suma de los vectores $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$.
- $q_1$ es positiva: su campo $\vec{E}_1$ "empuja" hacia arriba por el eje Y ($+\vec{j}$).
- $q_2$ es negativa: su campo $\vec{E}_2$ "atrae" a la carga, apuntando desde $A(0,4)$ directamente hacia $P_2(3,0)$.
El potencial eléctrico, en cambio, es un escalar y se suma directamente (con su signo).
2. Distancias desde las cargas al punto A:
- Desde $P_1(0,0)$ a $A(0,4)$: Es una línea vertical directa, $r_1 = 4$ m.
- Desde $P_2(3,0)$ a $A(0,4)$: Calculamos por Pitágoras, $r_2 = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m.
3. Cálculo del Vector Campo Eléctrico ($\vec{E}_A$):
Usamos la forma vectorial $\vec{E} = K \frac{q}{r^3} \vec{r}$ para la carga 2, que es la más segura.
- Campo de $q_1(5\,\mu\text{C})$: $\vec{E}_1 = 9\cdot 10^9 \frac{5\cdot 10^{-6}}{4^2} \vec{j} = \frac{45000}{16} \vec{j} = 2812,5\vec{j}$ N/C.
- Campo de $q_2(-2\,\mu\text{C})$: El vector que va de $A(0,4)$ a $P_2(3,0)$ para la atracción es $\vec{r}_2 = (3-0)\vec{i} + (0-4)\vec{j} = 3\vec{i} - 4\vec{j}$.
$\vec{E}_2 = 9\cdot 10^9 \frac{-2\cdot 10^{-6}}{5^3} (-3\vec{i} + 4\vec{j})$ (nota: usamos el vector origen $\to$ punto A para la fórmula universal).
$\vec{E}_2 = \frac{-18000}{125} (-3\vec{i} + 4\vec{j}) = -144(-3\vec{i} + 4\vec{j}) = 432\vec{i} - 576\vec{j}$ N/C.
Sumamos los vectores:
$\vec{E}_A = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 432\vec{i} + (2812,5 - 576)\vec{j} = 432\vec{i} + 2236,5\vec{j}$ N/C.
Con dos decimales exactos: $432,00\vec{i} + 2236,50\vec{j}$ N/C.
4. Cálculo del Potencial en A ($V_A$):
$V_A = K \frac{q_1}{r_1} + K \frac{q_2}{r_2} = 9\cdot 10^9 \left( \frac{5\cdot 10^{-6}}{4} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{5} \right)$
$V_A = 9000 \left( 1,25 - 0,4 \right) = 9000 \cdot 0,85 = 7650$ V.
Con dos decimales exactos: $7650,00$ V.
Apartado b)
Resultado:
- Trabajo $W_{A \to B}=$ 3,15 × 10-3 J
1. Concepto Físico (Trabajo del Campo Conservativo):
El campo eléctrico es un campo conservativo, por lo que el trabajo no depende de la trayectoria (sea recta o con curvas), solo del punto inicial $A$ y el final $B$.
El trabajo realizado por el campo es $W_{elec} = -\Delta U = -q_3 (V_{final} - V_{inicial}) = -q_3 (V_B - V_A)$.
El potencial inicial ya lo tenemos calculado: $V_A = 7650$ V.
2. Potencial en el Punto Final $B(3,4)$:
Calculamos las nuevas distancias a $B(3,4)$:
- Desde $P_1(0,0)$: $r_{1B} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m.
- Desde $P_2(3,0)$: $r_{2B} = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$ m.
$V_B = K \frac{q_1}{r_{1B}} + K \frac{q_2}{r_{2B}} = 9\cdot 10^9 \left( \frac{5\cdot 10^{-6}}{5} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{4} \right)$
$V_B = 9000 \left( 1 - 0,5 \right) = 9000 \cdot 0,5 = 4500$ V.
3. Cálculo del Trabajo:
La carga que se traslada es $q_3 = 1 \,\mu\text{C} = 1\cdot 10^{-6}$ C.
$W_{elec} = -q_3 (V_B - V_A) = -10^{-6} \cdot (4500 - 7650) = -10^{-6} \cdot (-3150)$
$W_{elec} = +0,00315$ J.
Como nos da positivo, el campo realiza este trabajo a favor del movimiento de forma espontánea.
Ajustando a notación científica con dos decimales de precisión: $3,15 \cdot 10^{-3}$ J.