Apartado a)
Resultado:
- Campo en $P$: $\vec{E}_P=$ 2,43 \(\vec{i}\) + -1,67 \(\vec{j}\) N/C
- Potencial en $P$: $V_P=$ 0,6 V
1. Concepto Físico (Superposición en el punto P):
Evaluamos el campo y el potencial creados por las tres cargas en el punto $P(3,4)$.
- $q_1(0,0)$ es positiva: su campo "empuja" alejándose a lo largo de la diagonal ($+\vec{i}, +\vec{j}$).
- $q_2(3,0)$ es negativa: su campo "tira" atrayendo directamente hacia abajo ($-\vec{j}$).
- $q_3(0,4)$ es positiva: su campo "empuja" directamente hacia la derecha ($+\vec{i}$).
2. Cálculo del Campo Eléctrico:
- Para $q_1(2\,\text{nC})$: Distancia a $P(3,4)$ es $r_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m.
$E_1 = K \frac{q_1}{r_1^2} = 9\cdot 10^9 \frac{2\cdot 10^{-9}}{5^2} = \frac{18}{25} = 0,72\,\text{N/C}$.
Descomponemos el vector. El ángulo forma un triángulo de base 3 y altura 4. $\cos(\alpha) = 3/5 = 0,6$ y $\sin(\alpha) = 4/5 = 0,8$.
$\vec{E}_1 = 0,72 \cdot 0,6\vec{i} + 0,72 \cdot 0,8\vec{j} = 0,432\vec{i} + 0,576\vec{j}$ N/C.
- Para $q_2(-4\,\text{nC})$: Distancia a $P(3,4)$ es $r_2 = 4$ m. Atrae hacia abajo.
$E_2 = K \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\cdot 10^9 \frac{4\cdot 10^{-9}}{4^2} = \frac{36}{16} = 2,25\,\text{N/C} \implies \vec{E}_2 = -2,25\vec{j}$ N/C.
- Para $q_3(2\,\text{nC})$: Distancia a $P(3,4)$ es $r_3 = 3$ m. Repela hacia la derecha.
$E_3 = K \frac{q_3}{r_3^2} = 9\cdot 10^9 \frac{2\cdot 10^{-9}}{3^2} = \frac{18}{9} = 2\,\text{N/C} \implies \vec{E}_3 = +2\vec{i}$ N/C.
Sumamos las componentes:
$E_x = 0,432 + 2 = 2,432 \approx 2,43$ N/C.
$E_y = 0,576 - 2,25 = -1,674 \approx -1,67$ N/C.
Vector total estandarizado: $2,43\vec{i} - 1,67\vec{j}$ N/C.
3. Cálculo del Potencial Eléctrico:
Se suman escalarmente las aportaciones de energía: $V_P = V_1 + V_2 + V_3$.
$V_P = 9\cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{2}{5} + \frac{-4}{4} + \frac{2}{3} \right) = 9 \cdot (0,4 - 1 + 0,666...)$
$V_P = 9 \cdot (0,0666...) = 0,6\,\text{V}$.
Con los decimales exactos: $0,60$ V.
Apartado b)
Resultado:
- Trabajo del campo:
$W=$ 9,6 × 10-20 J
1. Concepto Físico (Trabajo de escape al infinito):
El trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar una carga desde el punto inicial $P(3,4)$ hasta el infinito es:
$W_{campo} = -\Delta U = -q_p (V_{final} - V_{inicial})$.
- En el punto de llegada (el infinito), el potencial es cero: $V_{final} = 0$ V.
- En el punto de partida $P(3,4)$, calculamos en el apartado A que el potencial es $V_{inicial} = 0,6$ V.
2. Cálculo del Trabajo:
Sustituimos el valor de la carga del protón ($q_p = 1,6\cdot 10^{-19}$ C):
$W = -(1,6\cdot 10^{-19}) \cdot (0 - 0,6)$
$W = -(1,6\cdot 10^{-19}) \cdot (-0,6) = +0,96 \cdot 10^{-19}$ J.
Para cumplir estrictamente la notación científica (coeficiente entre 1 y 9,99), multiplicamos el coeficiente por 10 y restamos 1 al exponente:
$9,60 \cdot 10^{-20}$ J.
(El trabajo es positivo porque el potencial inicial era positivo y el protón "quiere" huir de ahí hacia un lugar de menor potencial, el cero).