Ejercicio 28

1. Concepto Físico (Conservación de la Energía Mecánica):
En este clásico experimento de Rutherford, la partícula alfa viaja hacia el núcleo de oro. Como ambos tienen carga positiva, experimentan una fuerza de repulsión que va frenando a la partícula alfa.
En el punto de máximo acercamiento, la partícula alfa se detiene por una fracción de segundo ($v = 0$) antes de salir repelida hacia atrás. Toda su energía cinética inicial se ha transformado en energía potencial eléctrica.
Aplicamos conservación: $E_{c,i} + U_i = E_{c,f} + U_f$.
- En el infinito (inicio): $U_i = 0$.
- En el máximo acercamiento (final): $E_{c,f} = 0$.
Por tanto: $E_{c,i} = U_f = K \frac{q_\alpha Q}{d}$.
¡Atención al distractor! Nos dan la masa de la partícula alfa, pero al darnos directamente su energía cinética en MeV, la masa no es necesaria para los cálculos.

2. Conversión de Unidades:
Carga de la partícula alfa: $q_\alpha = +2e = 2 \cdot 1,6\cdot 10^{-19} = 3,2\cdot 10^{-19}$ C.
Carga del núcleo de oro: $Q = +79e = 79 \cdot 1,6\cdot 10^{-19} = 126,4\cdot 10^{-19}$ C.
Energía cinética inicial a Julios: $5\,\text{MeV} = 5\cdot 10^6\,\text{eV}$.
$E_{c,i} = 5\cdot 10^6 \cdot 1,6\cdot 10^{-19} = 8\cdot 10^{-13}$ J.

3. Cálculo de la Distancia ($d$):
Igualamos la energía cinética a la fórmula de la energía potencial y despejamos $d$:
$8\cdot 10^{-13} = 9\cdot 10^9 \frac{(3,2\cdot 10^{-19}) \cdot (126,4\cdot 10^{-19})}{d}$
$8\cdot 10^{-13} = \frac{3640,32 \cdot 10^{-29}}{d}$
$d = \frac{3640,32 \cdot 10^{-29}}{8\cdot 10^{-13}} = 455,04 \cdot 10^{-16} = 4,5504 \cdot 10^{-14}$ m.
En notación científica estandarizada: $4,55 \cdot 10^{-14}$ m.

1. Concepto Físico (Campo y Fuerza):
- El campo eléctrico en ese punto es generado exclusivamente por el núcleo de oro (carga $Q$) a la distancia de máximo acercamiento $d$.
- La fuerza eléctrica es la que sufre la partícula alfa al interactuar con dicho campo: $F = q_\alpha \cdot E$.

2. Cálculo del Campo Eléctrico ($E$):
Usamos la fórmula del campo para una carga puntual ($Q = 126,4\cdot 10^{-19}$ C) a una distancia $d = 4,5504 \cdot 10^{-14}$ m:
$E = K \frac{Q}{d^2} = 9\cdot 10^9 \frac{126,4\cdot 10^{-19}}{(4,5504 \cdot 10^{-14})^2}$
$E = \frac{1137,6 \cdot 10^{-10}}{20,7061 \cdot 10^{-28}} \approx 54,94 \cdot 10^{18} = 5,494 \cdot 10^{19} \,\text{N/C}$.
En notación científica a dos decimales exactos: $5,49 \cdot 10^{19}$ N/C.

3. Cálculo de la Fuerza Eléctrica repulsiva ($F$):
Multiplicamos el campo obtenido por la carga de la partícula alfa ($q_\alpha = 3,2\cdot 10^{-19}$ C):
$F = q_\alpha \cdot E = (3,2\cdot 10^{-19}) \cdot (5,494 \cdot 10^{19}) \approx 17,5808\,\text{N}$.
*Nota: Para partículas a escala atómica, una fuerza de $17$ Newtons es algo colosal, de ahí la aceleración tan brutal que sufre la partícula al repelerse.
Ajustado a la regla de los dos decimales exactos: $17,58$ N.