Ejercicio 30

1. Concepto Físico (Tiro Parabólico Eléctrico):
Al entrar el electrón en el campo eléctrico constante, sufre una fuerza constante.
- En el eje X: No hay fuerzas. El electrón se mueve con velocidad constante (MRU).
- En el eje Y: El campo eléctrico apunta hacia abajo ($-\vec{j}$). Como el electrón tiene carga negativa, la fuerza que sufre es opuesta al campo, es decir, apunta hacia arriba ($+\vec{j}$). Esto genera una aceleración constante hacia arriba (MRUA).

2. Dinámica (Cálculo de la Aceleración en Y):
$F_y = |q_e| \cdot E = (1,6\cdot 10^{-19} \,\text{C}) \cdot 2000 \,\text{V/m} = 3,2\cdot 10^{-16} \,\text{N}$.
$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{3,2\cdot 10^{-16}}{9,1\cdot 10^{-31}} \approx 3,51648 \cdot 10^{14} \,\text{m/s}^2$.

3. Cinemática (Ecuaciones de movimiento):
- Eje X (MRU): $x = v_0 \cdot t \implies x = 5\cdot 10^6 \cdot t$
- Eje Y (MRUA): $y = v_{0y}t + \frac{1}{2}a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2}(3,51648 \cdot 10^{14}) t^2 = 1,75824 \cdot 10^{14} \cdot t^2$

4. Ecuación de la Trayectoria $y(x)$:
Despejamos el tiempo de la primera ecuación ($t = \frac{x}{5\cdot 10^6}$) y lo sustituimos en la segunda:
$y = 1,75824 \cdot 10^{14} \cdot \left( \frac{x}{5\cdot 10^6} \right)^2$
$y = 1,75824 \cdot 10^{14} \cdot \frac{x^2}{25\cdot 10^{12}} = \frac{1,75824 \cdot 10^{14}}{25\cdot 10^{12}} \cdot x^2$
$y = 0,070329... \cdot 10^2 \cdot x^2 = 7,0329... \cdot x^2$
Redondeando el coeficiente a dos decimales exactos obtenemos: $7,03 x^2$ m.

1. Concepto Físico (Teorema de las Fuerzas Vivas):
La energía cinética final del electrón en cualquier punto es la suma de su energía cinética inicial más el trabajo realizado por el campo eléctrico para llevarlo hasta allí:
$E_{c,f} = E_{c,i} + W_{campo}$.

2. Energía Cinética Inicial ($E_{c,i}$):
Se calcula con la velocidad de entrada ($v_0 = 5\cdot 10^6$ m/s):
$E_{c,i} = \frac{1}{2}m_e v_0^2 = \frac{1}{2}(9,1\cdot 10^{-31}) \cdot (5\cdot 10^6)^2 = 0,5 \cdot 9,1\cdot 10^{-31} \cdot 25\cdot 10^{12} = 113,75\cdot 10^{-19} \,\text{J}$.
Convertimos a electrón-voltios dividiendo por la carga del electrón ($1,6\cdot 10^{-19}$):
$E_{c,i} = \frac{113,75\cdot 10^{-19}}{1,6\cdot 10^{-19}} = 71,09375 \,\text{eV}$.

3. Trabajo del Campo Eléctrico ($W_{campo}$):
El campo eléctrico es uniforme y el electrón se desplaza en él. El trabajo se define como fuerza por desplazamiento en la misma dirección.
La fuerza es constante hacia arriba (eje Y). Necesitamos saber cuánto se ha desplazado en Y (altura) cuando su coordenada X es $10\,\text{cm} = 0,1\,\text{m}$.
Usamos la ecuación de la trayectoria del apartado A:
$y = 7,0329 \cdot (0,1)^2 = 7,0329 \cdot 0,01 = 0,070329 \,\text{m}$.
El trabajo en Julios es: $W = F_y \cdot y = (3,2\cdot 10^{-16} \,\text{N}) \cdot (0,070329 \,\text{m}) = 0,22505 \cdot 10^{-16} \,\text{J} = 225,05 \cdot 10^{-19} \,\text{J}$.
Pasado a eV:
$W_{eV} = \frac{225,05 \cdot 10^{-19}}{1,6\cdot 10^{-19}} = 140,658... \,\text{eV}$.

4. Energía Cinética Final:
Sumamos la inicial más la ganada por el trabajo:
$E_{c,f} = 71,09375 + 140,658 = 211,751... \,\text{eV}$.
Redondeado a dos decimales exactos: $211,75$ eV.