Ejercicio 35

1. Concepto Físico (Teorema de Gauss en lámina no conductora):
Para una lámina plana, infinita y no conductora, la carga está distribuida de forma uniforme en una capa extremadamente fina.
Si tomamos como superficie gaussiana un cilindro que atraviese la lámina perpendicularmente (con bases de área $A$ a ambos lados de la lámina), el flujo eléctrico $\Phi$ solo atraviesa las dos bases, ya que en la cara lateral el campo es paralelo a la superficie.
Aplicando la ley de Gauss: $\Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$.
El flujo a través de las dos bases es $E \cdot A + E \cdot A = 2 E A$.
La carga encerrada en la porción de lámina que corta el cilindro es $Q_{int} = \sigma \cdot A$.
Igualando: $2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.
*Nota: Si la lámina fuese conductora gruesa, el campo en el interior sería cero y la fórmula sería $\sigma/\varepsilon_0$. Al ser "no conductora", el campo sale hacia ambos lados por igual.

2. Cálculo del Módulo del Campo Eléctrico:
Utilizamos el valor absoluto de la densidad de carga $|\sigma| = 5 \cdot 10^{-6} \,\text{C/m}^2$:
$|E| = \frac{5\cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8,85\cdot 10^{-12}} = \frac{5\cdot 10^{-6}}{17,7\cdot 10^{-12}} = \frac{5}{17,7} \cdot 10^6 \approx 282.485,875... \,\text{N/C}$.
En notación científica estandarizada a dos decimales exactos: $2,82 \cdot 10^5$ N/C.

1. Concepto Físico (Dinámica en un Campo Uniforme):
El campo eléctrico generado por un plano infinito es uniforme y constante en todo el espacio (no depende de la distancia).
- La lámina tiene carga negativa ($\sigma < 0$), por lo que su campo atrae hacia ella.
- El electrón también tiene carga negativa. Por tanto, sufrirá una fuerza de repulsión constante ($F = |q_e| \cdot E$) que lo alejará de la lámina con aceleración constante (MRUA).
Al ser un campo constante, la diferencia de potencial entre dos puntos se calcula fácilmente como $\Delta V = E \cdot d$.
Por conservación de la energía, el trabajo realizado por el campo se transforma íntegramente en energía cinética: $E_{c,f} = W_{campo} = |q_e| \cdot |\Delta V|$.

2. Cálculo del Trabajo (o Variación de Energía Cinética):
La distancia que recorre el electrón es $\Delta x = 10\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm} = 0,08\,\text{m}$.
La diferencia de potencial (en valor absoluto) entre esos dos puntos es:
$|\Delta V| = E \cdot d = 282.485,875 \cdot 0,08 = 22.598,87\,\text{V}$.
El trabajo (energía cinética final) es:
$E_c = |q_e| \cdot |\Delta V| = (1,6\cdot 10^{-19}) \cdot 22.598,87 = 36.158,19 \cdot 10^{-19} = 3,6158 \cdot 10^{-15} \,\text{J}$.

3. Cálculo de la Velocidad Final:
Aplicamos la fórmula clásica de la energía cinética ($E_c = \frac{1}{2}m_e v^2$) con la masa del electrón ($m_e = 9,1\cdot 10^{-31}$ kg):
$v = \sqrt{\frac{2 \cdot E_c}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,6158\cdot 10^{-15}}{9,1\cdot 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{7,2316\cdot 10^{-15}}{9,1\cdot 10^{-31}}}$
$v = \sqrt{0,79468 \cdot 10^{16}} = \sqrt{79,468 \cdot 10^{14}}$
$v \approx 8,9144 \cdot 10^7 \,\text{m/s}$.
En notación científica estandarizada con dos decimales exactos: $8,91 \cdot 10^7$ m/s.