Ejercicio 37

1. Concepto Físico (Tiro Parabólico):
El electrón describe una trayectoria parabólica al combinar dos movimientos independientes:
- En el eje X: Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) ya que no hay fuerzas horizontales.
- En el eje Y: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) debido a la fuerza eléctrica.
Como el electrón debe desviarse hacia arriba ($+\vec{j}$) para rozar la placa superior, la fuerza eléctrica apunta en $+\vec{j}$. Al ser el electrón una carga negativa, la fuerza y el campo apuntan en direcciones contrarias. Por tanto, el campo eléctrico debe apuntar ineludiblemente hacia abajo ($-\vec{j}$).

2. Análisis Cinemático (Tiempo y Aceleración):
- Eje X (MRU): Convertimos la longitud de las placas: $x = L = 10\,\text{cm} = 0,1\,\text{m}$.
$t = \frac{x}{v_0} = \frac{0,1}{3\cdot 10^6} = \frac{1}{3} \cdot 10^{-7} \approx 3,333 \cdot 10^{-8} \,\text{s}$.
- Eje Y (MRUA): El electrón parte de $y_0 = 0$ y debe llegar a $y = 2\,\text{cm} = 0,02\,\text{m}$ justo en ese tiempo $t$.
$y = \frac{1}{2}a_y t^2 \implies 0,02 = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot 10^{-7} \right)^2$
$0,02 = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot \frac{1}{9} \cdot 10^{-14} \implies 0,02 = a_y \cdot \frac{1}{18} \cdot 10^{-14}$
$a_y = 0,02 \cdot 18 \cdot 10^{14} = 0,36 \cdot 10^{14} = 3,6 \cdot 10^{13} \,\text{m/s}^2$.

3. Análisis Dinámico (Fuerza y Campo):
Por la Segunda Ley de Newton, la fuerza es:
$F_y = m_e \cdot a_y = 9,1\cdot 10^{-31} \cdot 3,6\cdot 10^{13} = 32,76 \cdot 10^{-18} \,\text{N}$.
Con la fuerza, hallamos el módulo del campo eléctrico:
$|E| = \frac{F_y}{|q_e|} = \frac{32,76 \cdot 10^{-18}}{1,6\cdot 10^{-19}} = 20,475 \cdot 10^1 = 204,75 \,\text{N/C}$.
Como justificamos que el vector debe apuntar hacia abajo: $\vec{E} =$ $0,00\vec{i} - 204,75\vec{j}$ N/C (o V/m).

1. Concepto Físico (Teorema del Trabajo y la Energía):
Podríamos calcular la velocidad final en X y en Y para hallar la energía cinética final y restarle la inicial, pero existe un atajo infinitamente más elegante: El Teorema de las Fuerzas Vivas.
La variación de energía cinética ($\Delta E_c$) es exactamente igual al trabajo neto ($W$) realizado sobre la partícula.
Dado que la única fuerza que actúa es la fuerza eléctrica, constante y paralela al eje Y, el trabajo se simplifica muchísimo.

2. Cálculo del Trabajo Eléctrico:
El desplazamiento total en el eje en el que actúa la fuerza es $\Delta y = 0,02\,\text{m}$.
La fuerza constante calculada en el apartado anterior es $F_y = 3,276 \cdot 10^{-17} \,\text{N}$.
Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido (hacia arriba), el trabajo es el producto directo de sus módulos:
$W = F_y \cdot \Delta y = (3,276 \cdot 10^{-17}) \cdot 0,02$
$W = 0,06552 \cdot 10^{-17} \,\text{J} = 6,552 \cdot 10^{-19} \,\text{J}$.

3. Resultado Final:
$\Delta E_c = W = 6,552 \cdot 10^{-19} \,\text{J}$.
Estandarizado en la notación científica exigida a dos decimales exactos: $6,55 \cdot 10^{-19}$ J.
(El resultado es positivo, lo que indica lógicamente que el electrón sale de las placas viajando más rápido de lo que entró gracias a la aceleración vertical).