Ejercicio 9

1. Concepto Físico (Simetría y Anulación en X):
El punto $P(0,4)$ está situado en el eje Y, exactamente equidistante a ambas cargas. Por el Teorema de Pitágoras, la distancia a $q_1$ y a $q_2$ es la misma: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m.
Para que el campo eléctrico total no tenga componente en el eje $X$ ($E_x = 0$), las fuerzas horizontales que ejercen $q_1$ y $q_2$ deben contrarrestarse perfectamente.
Al estar a la misma distancia, la única forma de que sus campos horizontales se anulen es que las cargas sean idénticas en valor y signo.
Por lo tanto, deducimos directamente que $q_2 = q_1 =$ $-5,00$ nC.

2. Cálculo del Vector Campo Eléctrico:
Como las cargas son negativas, sus campos son atractivos (apuntan desde el punto $(0,4)$ hacia las cargas en la base).
El módulo de cada campo es: $E_1 = E_2 = K \frac{|q|}{r^2} = 9\cdot 10^9 \frac{5\cdot 10^{-9}}{5^2} = \frac{45}{25} = 1,8$ N/C.

Descomponemos usando los vectores directores:
- Vector para $\vec{E}_1$: De $(0,4)$ a $(-3,0)$. Dirección: $(-3, -4)$. Unitario: $\hat{u}_1 = (-0,6\vec{i} - 0,8\vec{j})$.
$\vec{E}_1 = 1,8 \cdot (-0,6\vec{i} - 0,8\vec{j}) = -1,08\vec{i} - 1,44\vec{j}$ N/C.
- Vector para $\vec{E}_2$: De $(0,4)$ a $(3,0)$. Dirección: $(3, -4)$. Unitario: $\hat{u}_2 = (0,6\vec{i} - 0,8\vec{j})$.
$\vec{E}_2 = 1,8 \cdot (0,6\vec{i} - 0,8\vec{j}) = 1,08\vec{i} - 1,44\vec{j}$ N/C.

Sumamos ambos vectores:
$\vec{E}_{tot} = (-1,08 + 1,08)\vec{i} + (-1,44 - 1,44)\vec{j} =$ $0,00\vec{i} - 2,88\vec{j}$ N/C.

1. Concepto Físico (Trabajo del Campo):
El trabajo que realiza el campo eléctrico se calcula como: $W = -\Delta U = -q_e (V_{final} - V_{inicial})$.
¡Atención al signo! La carga que se traslada es un electrón, que tiene carga negativa ($q_e = -1,6\cdot 10^{-19}$ C).
Si el resultado de $W$ da positivo, significa que el campo realiza el trabajo (el electrón se mueve espontáneamente). Si da negativo, lo tendría que realizar una fuerza exterior.

2. Cálculo del Potencial Inicial (en el Origen $O$):
Las distancias de las cargas al origen $(0,0)$ son $r = 3$ m.
$V_{O} = K \frac{q_1}{r} + K \frac{q_2}{r} = 9\cdot 10^9 \left( \frac{-5\cdot 10^{-9}}{3} + \frac{-5\cdot 10^{-9}}{3} \right)$
$V_{O} = 9 \left( \frac{-10}{3} \right) = -30$ V.

3. Cálculo del Potencial Final (en el Punto $P$):
Las distancias al punto $(0,4)$ son $r = 5$ m.
$V_{P} = K \frac{q_1}{r} + K \frac{q_2}{r} = 9\cdot 10^9 \left( \frac{-5\cdot 10^{-9}}{5} + \frac{-5\cdot 10^{-9}}{5} \right)$
$V_{P} = 9 \left( \frac{-10}{5} \right) = 9 \cdot (-2) = -18$ V.

4. Cálculo del Trabajo Total:
$W = -q_e (V_P - V_O) = -(-1,6\cdot 10^{-19}) \cdot (-18 - (-30))$
$W = (1,6\cdot 10^{-19}) \cdot (-18 + 30) = 1,6\cdot 10^{-19} \cdot (+12) = 19,2 \cdot 10^{-19}$ J.

Como $W > 0$, el trabajo lo realiza el propio campo eléctrico (el electrón, al ser negativo, huye de forma natural de las cargas negativas de la base hacia una zona de mayor potencial).
En notación científica estandarizada con 2 decimales: $1,92 \cdot 10^{-18}$ J.