Ejercicio 6

1. Concepto Físico (Superposición Vectorial):
El campo eléctrico total en el origen $O(0,0)$ es la suma de los vectores generados por cada carga $\vec{E}_O = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$.
- $q_1$ en $(0, 0,2)$ es positiva: su campo "empuja" hacia abajo ($-\vec{j}$).
- $q_3$ en $(0,2, 0)$ es positiva: su campo "empuja" hacia la izquierda ($-\vec{i}$).
- $q_2$ en $(0,2, 0,2)$ es negativa: su campo es atractivo, por lo que tira del origen hacia sí misma, es decir, en diagonal hacia arriba a la derecha ($+\vec{i}, +\vec{j}$) a $45^\circ$.

2. Módulo y componentes de $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_3$:
Ambas cargas están a $r = 0,2\,\text{m}$ y valen $3\,\text{nC}$.
$E_1 = E_3 = K \frac{|q|}{r^2} = 9\cdot 10^9 \frac{3\cdot 10^{-9}}{0,2^2} = \frac{27}{0,04} = 675\,\text{N/C}$.
Aplicando la dirección deducida: $\vec{E}_1 = -675\vec{j}$ N/C, y $\vec{E}_3 = -675\vec{i}$ N/C.

3. Módulo y componentes de $\vec{E}_2$ (diagonal):
La distancia de la carga $q_2$ al origen es la diagonal del cuadrado: $r_2 = \sqrt{0,2^2 + 0,2^2} = \sqrt{0,08}\,\text{m}$.
$E_2 = K \frac{|q_2|}{r_2^2} = 9\cdot 10^9 \frac{3\cdot 10^{-9}}{0,08} = \frac{27}{0,08} = 337,5\,\text{N/C}$.
Descomponemos usando $\cos(45^\circ)$ y $\sin(45^\circ)$, que equivalen a $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$E_{2x} = 337,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 238,648\,\text{N/C}$
$E_{2y} = 337,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 238,648\,\text{N/C}$
Por tanto: $\vec{E}_2 = 238,65\vec{i} + 238,65\vec{j}$ N/C.

4. Campo Total:
Sumamos las componentes $\vec{i}$ y $\vec{j}$ de los tres vectores:
$E_x = -675 + 238,648 = -436,352\,\text{N/C}$
$E_y = -675 + 238,648 = -436,352\,\text{N/C}$
Redondeando a 2 decimales exactos: $-436,35\vec{i} - 436,35\vec{j}$ N/C.

1. Concepto Físico (Potencial Escalar):
El potencial eléctrico en el centro geométrico del cuadrado ($V_C$) es la suma escalar directa de los potenciales generados por las 4 cargas.
$V_C = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 0$.

2. Geometría (Equidistancia):
El centro del cuadrado se encuentra a la misma distancia $r$ de los 4 vértices. Esta distancia es la mitad de la diagonal: $r = \frac{\sqrt{0,2^2 + 0,2^2}}{2} = \frac{\sqrt{0,08}}{2} \approx 0,1414\,\text{m}$.

3. Resolución Matemática:
Como la fórmula del potencial es $V = K \frac{q}{r}$ y todos los términos comparten la misma $K$ y la misma $r$, podemos sacar factor común:
$V_C = \frac{K}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4) = 0$.
Para que el producto de $\frac{K}{r}$ por el paréntesis dé cero (sabiendo que $\frac{K}{r}$ nunca es cero), la suma de las cargas tiene que ser matemáticamente cero:
$q_1 + q_2 + q_3 + q_4 = 0$
Sustituimos los valores respetando sus signos:
$3\,\text{nC} + (-3\,\text{nC}) + 3\,\text{nC} + q_4 = 0$
$3 + q_4 = 0 \implies q_4 = -3\,\text{nC}$.
En formato numérico estandarizado con dos decimales: $-3,00$ nC.