Ejercicio 22

1. Concepto Físico (Potencial Escalar por Superposición):
El potencial eléctrico generado por un conjunto de cargas en un punto es la suma algebraica (escalar) del potencial que genera cada carga por separado: $V = K \frac{q_1}{r_1} + K \frac{q_2}{r_2}$.
Dado que ambas cargas base son idénticas ($q = 4 \cdot 10^{-9}$ C) y el sistema es simétrico respecto al eje $y$, para cualquier punto sobre este eje, las distancias a ambas cargas serán iguales ($r_1 = r_2 = r$), simplificando la fórmula a $V = 2 K \frac{q}{r}$.

2. Cálculo del Potencial en el punto inicial $A(0,4)$:
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la distancia desde las cargas en $(\pm 3, 0)$ hasta el punto $(0, 4)$:
$r_A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\text{m}$.
$V_A = 2 \cdot 9\cdot 10^9 \frac{4\cdot 10^{-9}}{5} = 18 \cdot 0,8 = 14,4\,\text{V}$.
En formato con dos decimales exactos: $14,40$ V.

3. Cálculo del Potencial en el origen $O(0,0)$:
La distancia de las cargas situadas en $(\pm 3, 0)$ al origen de coordenadas es de forma directa sobre el eje $x$: $r_O = 3\,\text{m}$.
$V_O = 2 \cdot 9\cdot 10^9 \frac{4\cdot 10^{-9}}{3} = 18 \cdot 1,333... = 24\,\text{V}$.
En formato con dos decimales exactos: $24,00$ V.

1. Concepto Físico (Conservación de la Energía Mecánica):
Dado que el campo eléctrico es conservativo (y asumiendo que no hay otras fuerzas disipativas ni gravedad al ser una partícula subatómica tan ligera), la energía mecánica total se conserva durante todo el trayecto desde $A(0,4)$ hasta el origen $O(0,0)$.
$E_{m, A} = E_{m, O} \implies E_{c, A} + U_A = E_{c, O} + U_O$.
Al soltarse desde el reposo, su energía cinética inicial es nula ($E_{c, A} = 0$).
Por lo tanto, la energía cinética final que adquiere proviene íntegramente de la variación de su energía potencial: $E_{c, O} = U_A - U_O = q' (V_A - V_O)$.
*Nota: El sentido físico es evidente: al ser una carga negativa ($q' < 0$), es atraída hacia el origen donde el potencial creado por las cargas positivas es mayor.

2. Cálculo de la Energía Cinética en el Origen:
La carga que se mueve es $q' = -2\,\text{nC} = -2\cdot 10^{-9}$ C. Sustituimos los potenciales calculados en el apartado $A$ ($V_A = 14,4$ V y $V_O = 24$ V):
$E_{c, O} = (-2\cdot 10^{-9}) \cdot (14,4 - 24) = (-2\cdot 10^{-9}) \cdot (-9,6) = 19,2 \cdot 10^{-9}$ J.

3. Cálculo de la Velocidad:
Para despejar la velocidad de $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, debemos tener mucho cuidado y pasar la masa de la partícula al Sistema Internacional (kilogramos).
$m = 1\,\text{mg} = 10^{-3}\,\text{g} = 10^{-6}\,\text{kg}$.
$v = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{c, O}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 19,2\cdot 10^{-9}}{10^{-6}}} = \sqrt{\frac{38,4\cdot 10^{-9}}{10^{-6}}} = \sqrt{38,4 \cdot 10^{-3}} = \sqrt{0,0384}$.
$v \approx 0,195959... \,\text{m/s}$.
Redondeando estrictamente a dos decimales exactos: $0,20$ m/s.