Ejercicio 48

1. Concepto Físico (El Dipolo Eléctrico en su Plano Bisector):
Esta configuración de dos cargas idénticas de signo contrario es un dipolo eléctrico. El punto $P(0,2)$ está en el eje Y, que actúa como su plano bisector.
- Potencial Eléctrico: Al ser la distancia a ambas cargas idéntica, y ser el potencial una magnitud escalar, la energía negativa aportada por $q_1$ se cancela matemáticamente de forma exacta con la energía positiva aportada por $q_2$. El potencial es cero en todo el eje Y.
- Campo Eléctrico: Es un vector. La carga $q_2(+)$ en la derecha empuja hacia la izquierda y hacia arriba ($-\vec{i}, +\vec{j}$). La carga $q_1(-)$ en la izquierda atrae hacia la izquierda y hacia abajo ($-\vec{i}, -\vec{j}$). Las componentes verticales se cancelan por simetría, pero las componentes horizontales se suman apuntando hacia el lado negativo del eje X ($-\vec{i}$).

2. Cálculo del Potencial:
La distancia de ambas cargas a $P$ es $r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2,828\,\text{m}$.
$V_P = K\frac{q_1}{r} + K\frac{q_2}{r} = 9\cdot 10^9 \left( \frac{-5\cdot 10^{-9}}{\sqrt{8}} + \frac{5\cdot 10^{-9}}{\sqrt{8}} \right) = 0\,\text{V}$.
En formato numérico estricto: $0,00$ V.

3. Cálculo del Campo Eléctrico:
El módulo del campo generado por cada carga individualmente es idéntico:
$E_1 = E_2 = K\frac{|q|}{r^2} = 9\cdot 10^9 \frac{5\cdot 10^{-9}}{8} = \frac{45}{8} = 5,625\,\text{N/C}$.
Descomponemos en X multiplicando por el coseno del ángulo $\alpha$ (sabiendo que $\cos\alpha = \frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$):
La componente horizontal de cada campo es $E_x = 5,625 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 3,9774\,\text{N/C}$.
Como ambas apuntan hacia la izquierda ($-\vec{i}$), se suman:
$\vec{E}_{tot} = -(2 \cdot 3,9774)\vec{i} = -7,9549... \vec{i} \,\text{N/C}$.
Redondeado a dos decimales exactos: $-7,95\vec{i} + 0,00\vec{j}$ N/C.

1. Concepto Físico (Trabajo sobre una Superficie Equipotencial):
El trabajo que realiza el campo eléctrico para mover un electrón entre dos puntos se calcula a partir de la diferencia de potencial electrostático entre dichos puntos:
$W_{campo} = -\Delta U = -q_e (V_{final} - V_{inicial})$.

2. Análisis de los Potenciales:
- Punto inicial: $P(0,2)$. En el apartado anterior demostramos que, debido a la antisimetría de las cargas del dipolo, el potencial en $P$ es exactamente $0$ V.
- Punto final: Origen de coordenadas $(0,0)$. Al igual que ocurría en $P$, el origen es equidistante a ambas cargas ($r=2$ m a cada una). Por tanto, la energía que aporta $q_2(+)$ se cancela con la que aporta $q_1(-)$, y el potencial en el origen también es exactamente $0$ V.

3. Cálculo del Trabajo e Interpretación:
Sustituyendo los valores en la ecuación:
$W = -(-1,6\cdot 10^{-19}) \cdot (0 - 0) = 0\,\text{J}$.
En formato numérico estandarizado: $0,00$ J.
Interpretación física: Todo el eje Y constituye una superficie (o plano) equipotencial con V=0. Las líneas del campo eléctrico siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales. Por tanto, el vector campo eléctrico (que es totalmente horizontal) y el vector desplazamiento del electrón (que es totalmente vertical) forman un ángulo de $90^\circ$. Como el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento ($W = \vec{F} \cdot d\vec{r} = F \cdot dr \cdot \cos(90^\circ)$), no se realiza ningún trabajo neto a lo largo de este trayecto.